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§1.1.1　函数的平均变化率导学案

1．理解并掌握平均变化率的概念．

2．会求函数在指定区间上的平均变化率．

3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．

从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.

1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝，则当Δx≠0时，商＝____叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的．

2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义：ΔyΔx＝__________

表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的.

在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．

探究点一　函数的平均变化率

问题1　如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？

问题2　什么是平均变化率，平均变化率有何作用？

例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．

问题3　平均变化率有什么几何意义？

跟踪训练1　如图是函数y＝f(x)的图象，则：

（1）函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；

（2）函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．

探究点二　求函数的平均变化率

例2　已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.]．

跟踪训练2　分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．

问题　一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？

探究点三　平均变化率的应用

例3　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？

跟踪训练3　甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？

1．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为__________

2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________

3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．

1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．

2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；

（2）计算平均变化率ΔyΔx＝.

1．设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）

A．B．C．D．

2．质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（）

A．B．C．D．

§1.1.2　瞬时速度与导数导学案

1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．

2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率．

3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法．

4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．

导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.

1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为．

设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率，当Δt→0时的极限，即v＝limΔt→0ΔsΔt＝__________________

2．瞬时变化率：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝_________________.

3．导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的，记为，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝________________

4．导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数，于是在区间(a，b)内，构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的．

记为或y′(或y′x)．导函数通常简称为

探究点一　瞬时速度

问题1　在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态？

问题2　物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？

问题3　如何描述物体在某一时刻的运动状态？

例1　火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?

问题4　火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？

跟踪训练1　质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：，时间单位：)．若质点M在t＝2时的瞬时速度为8，求常数a的值．

探究点二　导　数

问题1　从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？

问题2　导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？

问题3　导函数和函数在一点处的导数有什么关系？

例2　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．

跟踪训练2　已知y＝f(x)＝x＋2，求f′(2)．

探究点三　导数的实际应用

例3　一正方形铁板在0℃时，边长为10，加热后铁板会膨胀．当温度为时，边长变为10(1＋at)，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．

跟踪训练3　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x时，原油的温度(单位：)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2和第6时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx　　( 　　)

A．大于0B．小于0C．等于0D．不等于0

2．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( 　　)

A．at0　　　　B．－at0C．12at0　　　　D．2at0

3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( 　　)

A．3　　　　B．－3C．2　　　　D．－2

4．已知函数f(x)＝1x，则＝________

1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值．

2．利用导数定义求导数的步骤：

（1）求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

（2）求平均变化率ΔyΔx；

（2）取极限得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.

1．（）

　　A．－１　　B．－2　　C．－3　　D．1

2．一质点做直线运动,由始点起经过后的距离为,则速度为零的时刻是（）

A．4末B．8末C．0与8末D．0,4,8末

§1.1.3　导数的几何意义导学案

1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．

2．会求导函数．

3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.

1．导数的几何意义

（1）割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))

的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝__________________.

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝＝___________________.

（2）导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应地，切线方程为_______________________．

2．函数的导数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，是x的一个函数，称是f(x)的导函数(简称导数)．也记作y′，即＝y′＝_______________

探究点一　导数的几何意义

问题1　如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

问题2　曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

例1　如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．

跟踪训练1　（1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．

（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( 　　)

探究点二　求切线的方程

问题1　怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？

问题2　曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？

例2　已知曲线y＝x2，求：

（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程；（2）曲线过点P(3,5)的切线方程．

跟踪训练2　已知曲线y＝2x2－7，求：

（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?（2）曲线过点P(3,9)的切线方程．

1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( 　　)

A．4B．16C．8D．2

2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( 　　)

A．a＝1，b＝1　　B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1

3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______

1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.

1．已知函数的图象在点处的切线方程是，则

2．设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为

§1．2.1　常数函数与幂函数的导数导学案

§1．2.2　导数公式表及数学软件的应用导学案

1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．

2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式

函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．

2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．

1．几个常用函数的导数

原函数　　导函数

f(x)＝c　　f′(x)＝___

f(x)＝x　　f′(x)＝___

f(x)＝x2　　f′(x)＝___

f(x)＝1x

f′(x)＝_____

f(x)＝x

f′(x)＝_______

2．基本初等函数的导数公式

原函数　　导函数

y＝c　　y′＝____

y＝xn(n∈N＋)　　y′＝______

y＝xμ(x0，μ≠0且μ∈Q)　　y′＝_______

y＝sinx　　y′＝________

y＝cosx　　y′＝________

y＝ax(a0，a≠1)　　y′＝________

y＝ex　　y′＝_____

y＝logax(a0，a≠1，x0)　　y′＝______

y＝lnx　　y′＝______

探究点一　求导函数

问题1　怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？

问题2　利用定义求下列常用函数的导数：

（1）　　y＝c；（2）y＝x；（3）y＝x2；（4）y＝1x；（5）y＝x.

问题3　利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？

例1　求下列函数的导数：

（1）y＝sinπ3；（2）y＝5x；（3）y＝1x3；（4）y＝4x3；（5）y＝log3x.

跟踪训练1　求下列函数的导数：

（1）y＝x8；（2）y＝(12)x；（3）y＝xx；（4）

探究点二　求某一点处的导数

例2　判断下列计算是否正确．

求f(x)＝cosx在x＝π3处的导数，过程如下：f′π3＝cosπ3′＝－sinπ3＝－32.

跟踪训练2　求函数f(x)＝13x在x＝1处的导数．

探究点三　导数公式的综合应用

例3　已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．

跟踪训练3　点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

1．给出下列结论：

①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.

其中正确的个数是( 　　)

A．1B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4

2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于　　( 　　)

A．36　　　　B．0　　C．12x　　D．32

3．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是　　　　( 　　)

A．[0，π4]∪[3π4，π)　　　　B．[0，π)C．[π4，3π4]　　D．[0，π4]∪[π2，3π4]

4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.

3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.

1．若函数f(x)＝excosx，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( 　　)

A．0°B．锐角C．直角D．钝角

2．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为___________

§1.2.3　导数的四则运算法则(一)导学案

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.

导数的运算法则

设两个可导函数分别为f(x)和g(x)

两个函数的

和的导数　　[f(x)＋g(x)]′＝________________

两个函数的

差的导数　　[f(x)－g(x)]′＝_________________

两个函数的

积的导数　　＝____________________

两个函数的

商的导数　　＝___________________

探究点一　导数的运算法则

问题1　我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

问题2　应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？

例1　求下列函数的导数：

（1）y＝3x－lgx；（2）y＝(x2＋1)(x－1)；（3）y＝x5＋x7＋x9x.

跟踪训练1　求下列函数的导数：

（1）f(x)＝x?tanx；（2）f(x)＝2－2sin2x2；（3）f(x)＝x－1x＋1；（4）f(x)＝sinx1＋sinx.

探究点二　导数的应用

例2　（1）曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________

（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________

（3）已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t－1t2＋2t2(位移单位：，时间单位：s)，求t＝3s时物体的瞬时速度．

跟踪训练2　（1）曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为( 　　)

A．－12　　　　　　B.12　　　　　　C．－22　　D．22

（2）设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．

1．设y＝－2exsinx，则y′等于( 　　)

A．－2excosx　　B．－2exsinxC．2exsinx　　　　D．－2ex(sinx＋cosx)

2．曲线f(x)＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( 　　)

A．y＝2x＋1　　B．y＝2x－1C．y＝－2x－3　　D．y＝－2x＋2

3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( 　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

4．已知f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝_______

5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

§1.2.3　导数的四则运算法则(二)导学案

1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．

复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．

复合函数的概念　　一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作.

复合函数的求导法则　　复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝.即y对x的导数等于___________________________________.

探究点一　复合函数的定义

问题1　观察函数y＝2xcosx及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？

问题2　对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？

问题3　在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？

例1　指出下列函数是怎样复合而成的：

（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos3x.

跟踪训练1　指出下列函数由哪些函数复合而成：

（1）y＝lnx；（2）y＝esinx；（3）y＝cos(3x＋1)．

探究点二　复合函数的导数

问题　如何求复合函数的导数？

例2　求下列函数的导数：

（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝11－2x；（3）y＝sin(－2x＋π3)；（4）y＝x＋3.

跟踪训练2　求下列函数的导数．

（1）y＝ln1x；（2）y＝e3x；（3）y＝5log2(2x＋1)．

探究点三　导数的应用

例3　　求曲线y＝e2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．

跟踪训练3　曲线y＝e2xcos3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为5，求直线l的方程．

1．函数y＝(3x－2)2的导数为　　　　　　　　　　( 　　)

A．2(3x－2)　　B．6xC．6x(3x－2)　　D．6(3x－2)

2．若函数y＝sin2x，则y′等于　　　　( 　　)

A．sin2x　　　　B．2sinxC．sinxcosx　　D．cos2x

3．若y＝f(x2)，则y′等于　　　　　　　　　　　　( 　　)

A．2xf′(x2)　　B．2xf′(x)C．4x2f(x)　　　　D．f′(x2)

4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.

1.求简单复合函数f(ax＋b)的导数

2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.

1．已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为____________

§1.3.1　利用导数判断函数的单调性导学案

1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．

2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．

3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.

一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：

导数　　函数的单调性

f′(x)0　　单调递___

f′(x)0　　单调递____

f′(x)＝0　　常函数

探究点一　函数的单调性与导函数正负的关系

问题1　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？

问题2　若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？

问题3　（1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．

（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？

例1　已知导函数f′(x)的下列信息：

当1x4时，f′(x)0；当x4或x1时，f′(x)0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.

试画出函数f(x)图象的大致形状．

跟踪训练1　函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．

例2　求下列函数的单调区间：

（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；（2）f(x)＝2x(ex－1)－x2；（3）f(x)＝3x2－2lnx.

跟踪训练2　求下列函数的单调区间：

（1）f(x)＝x2－lnx；（2）f(x)＝exx－2；（3）f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x2π)．

探究点二　函数的变化快慢与导数的关系

问题　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？

例3　如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？　　　　　　( 　　)

跟踪训练3　（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．

（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( 　　)

1．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是( 　　)

A．单调增函数B．单调减函数

C．在0，1e上是减函数，在1e，6上是增函数D．在0，1e上是增函数，在1e，6上是减函数

2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( 　　)

3．函数f(x)＝lnx－ax(a0)的单调增区间为( 　　)

A．0，1a　　　　B．1a，＋∞C．(0，＋∞)　　D．(0，a)

4．（1）函数y＝x2－4x＋a的增区间为_________，减区间为___________

（2）函数y＝x3－x的增区间为_______________________，减区间为_____________

1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．

2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为

（1）确定函数f(x)的定义域；

（2）求导数f′(x)；

（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.

1．已知函数

（1）若函数的单调递减区间是，则的是.

（2）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是

2．函数f(x)的定义域为，且满足f(2)＝2，1，则不等式f(x)－x0的解集为_______

3．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是_______

4．设函数f(x)＝x－1x－alnx.

（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为2，求a的值；

（2）若函数f(x)在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；

§1.3.2　利用导数研究函数的极值导学案

1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.

2．掌握函数极值的判定及求法.

3．掌握函数在某一点取得极值的条件．

函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.

1．极值的概念

已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．极大值与极小值统称为．

极大值点与极小值点统称为

2．求可导函数f(x)的极值的方法

（1）求导数f′(x)；

（2）求方程的所有实数根；

（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．

①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极值．

②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极值．

③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)

探究点一　函数的极值与导数的关系

问题1　如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？

问题2　函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？

问题3　若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．

例1　求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．

跟踪训练1　求函数f(x)＝3x＋3lnx的极值．

探究点二　利用函数极值确定参数的值

问题　已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？

例2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．

跟踪训练2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．

（1）试确定常数a和b的值；

（2）判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

探究点三　函数极值的综合应用

例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x.

（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

跟踪训练3　若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．

1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的　　( 　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．下列函数存在极值的是　　( 　　)

A．y＝1x　　B．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3D．y＝x3

3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( 　　)

A．－1a2　　B．－3a6C．a－1或a2　　D．a－3或a6

4．设a∈，若函数y＝ex＋ax，x∈有大于零的极值点，则a的取值范围为__________

5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________

1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．

2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反．

3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.

1．已知三次函数在和时取极值，且．

（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间和极值

2．若函数，当时，函数极值，

（1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数的取值范围

§1.3.3　利用导数研究函数的最值导学案

1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．

2．会用导数求某定义域上函数的最值．

弄清极值与最值的区别是学好本节的关键．

函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.

1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值

函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：

（1）求f(x)在开区间(a，b)内所有使的点；

（2）计算函数f(x)在区间内和______的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

探究点一　求函数的最值

问题1　如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？

问题2　观察问题1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？

问题3　函数的极值和最值有什么区别和联系？

问题4　怎样求一个函数在闭区间上的最值？

例1　求下列函数的最值：

（1）f(x)＝2x3－12x，x[－1,3]；（2）f(x)＝12x＋sinx，x[0,2π]

跟踪训练1　求下列函数的最值：

（1）f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x[－3,1]；（2）f(x)＝ex(3－x2)，x[2,5]．

探究点二　含参数的函数的最值问题

例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．

（1）若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

（2）求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

探究点三　函数最值的应用

问题　函数最值和“恒成立”问题有什么联系？

例3　　已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．

跟踪训练3　设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．

1．函数y＝f(x)在[a，b]上　　( 　　)

A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值

C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值

2．函数f(x)＝x3－3x(

x

1)　　( 　　)

A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值

3．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是　　( 　　)

A．π－1　　　　　　B．π2－1　　　　　　C．π　　　　　　D．π＋1　　

4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______

1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．

2．含参数的函数最值，可分类讨论求解．

3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.

1．已知a≤1－xx＋lnx对任意x∈12，2恒成立，则a的最大值为( 　　)

A．0B．1C．2D．3

2．已知函数,过曲线上的点的切线方程为

（1）若函数在处有极值，求的表达式；

（2）在（1）的条件下，求函数在上的最大值；

（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围

§1.3.4　导数的实际应用导学案

1．了解导数在解决实际问题中的作用．

2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．

2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．

1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的_____或．这些都是最优化问题．

2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的

题型一　面积、体积的最值问题

例1　如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

跟踪训练1　已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．

题型二　强度最大、用料最省问题

例2　横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？

跟踪训练2　挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？

题型三　省时高效、费用最低问题

例3　如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是km.在岸边距点Bkm的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？

跟踪训练3　如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？

跟踪训练4　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

1．方底无盖水箱的容积为，则最省材料时，它的高为( 　　)

A．4B．6C．4.5D．8

2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)．已知贷款的利率为0.，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.)，若使银行获得最大收益，则x的取值为多少？

3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0x≤)．已知甲、乙两地相距千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤

（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系；

（2）列模型：列出实际问题的数学模型；

（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

（4）求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

（5）比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

（6）结论：根据比较值写出答案．

2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.

习题课导学案

1．理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.

2．会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．

1．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上　　　　　　　　　　( 　　)

A．单调递增　　B．单调递减C．有最大值　　D．有最小值

2．若在区间(a，b)内，f′(x)0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( 　　)

A．f(x)0　　B．f(x)0C．f(x)＝0　　D．不能确定

3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为( 　　)

A．－1　　　　B．0　　　　C．－　　　　D．33

4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( 　　)

5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．

题型一　函数与其导函数之间的关系

例1　已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是　　( 　　)

跟踪训练1　已知上可导函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)0的解集为　　( 　　)

A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)

题型二　利用导数研究函数的单调性、极值、最值

例2　设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝1x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．

（1）求g(x)的单调区间和最小值．（2）讨论g(x)与g(1x)的大小关系．

跟踪训练2　设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x.

（1）求f(x)的单调区间与极值；

（2）求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.

题型三　导数的综合应用

例3　已知函数f(x)＝x3－ax－1.

（1）若f(x)在实数集上单调递增，求a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

跟踪训练3　（1）若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是－12，12，则实数a的值是多少？

（2）若函数f(x)＝4x3－ax＋3在－12，12上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？

1．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是( 　　)

A．(0,1]　　B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]，(0,1)　　D．[－1,0)，(0,1]

2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是上的单调函数，则实数m的取值范围是( 　　)

A．13，＋∞　　B．－∞，13C．13，＋∞　　D．－∞，13

3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( 　　)

4．设f(x)、g(x)是定义在上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0，则当axb时有( 　　)

A．f(x)g(x)f(b)g(b)　　　　B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(b)f(b)g(x)　　　　D．f(x)g(x)f(a)g(a)

5．函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)m，则实数m的取值范围是__________

导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.

1．等差数列中的是函数的极值点，则（）

A．B．C．D．

2．函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是_____

3．已知函数（），若函数在区间上是单调减函数，则的最小值是

4．已知函数

（1）求函数的单调区间；（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；

（3）是否存在正数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由.

§1.5.1曲边梯形面积与定积分(一)导学案

1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．

2．会求曲边梯形的面积及变力所做的功．

曲边梯形的面积体现了“以直代曲”的思想，将曲边梯形的面积转化为求“直边图形”的面积.

1．曲边梯形：曲线与和所围成的图形，通常叫做曲边梯形．

2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝____________克服弹簧的拉力的变力所做的功：W＝____________.

探究点一　求曲边梯形的面积

问题1　如何计算下列两图形的面积？

问题2　如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S?

思考1　图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？

思考2　能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)

思考3　在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[i－1n，in](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点in处的函数值f(in)，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi∈[i－1n，in]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？

例1　　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝12x2所围成的图形的面积．

跟踪训练1　求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．

探究点二　求变力做功

问题　求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？

例2　如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置em处，求克服弹力所做的功．

跟踪训练2　有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S(单位：km)是多少？

1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为( 　　)

A．1n　　　　　　B．2nC．3n　　　　　　D．12n

2．函数f(x)＝x2在区间i－1n，in上　　　　　　　　　　　　　　　　( 　　)

A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小

3．求由曲线y＝12x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．

4．弹簧在拉伸过程中力F(x)＝5x(x为伸长量)，则弹簧从平衡位置拉长2所做的功为________

求曲边梯形面积和变力做功的步骤

（1）分割：n等分区间[a，b]；

（2）近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；

（3）求和：i＝1nf(ξi)?b－an；

（4）取极限：S＝limn→＋∞i＝1nf(ξi)?b－an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).

§1.5.2　定积分的概念导学案

1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.

2．理解定积分的几何意义.

3．掌握定积分的基本性质．

通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.

1．定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0x1x2…xn－1xn＝b，把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi，作和式In＝i＝0n－1f(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作，即＝_________.

2．在定积分中，叫做被积函数，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做被积式．

3．如果函数f(x)在[a，b]的图象是，则f(x)在[a，b]一定是可积的．

4．定积分的性质

（1）＝(k为常数)；

（2）＝±；

（3）＝＋(其中acb).

探究点一　定积分的概念

问题1　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．

问题2　怎样正确认识定积分?利用定积分的定义，计算?10x3dx的值．

跟踪训练1　用定义计算?21(1＋x)dx.

探究点二　定积分的几何意义

问题1　从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么表示什么？

问题2　当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？

例2　利用几何意义计算下列定积分：

（1）?3－39－x2dx；（2）?3－1(3x＋1)dx.

跟踪训练2　根据定积分的几何意义求下列定积分的值：

（1）?1－1xdx；（2）?2π0cosxdx；（3）?1－1

x

dx.

探究点三　定积分的性质

问题1　定积分的性质可作哪些推广？

问题2　如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？

例2　　计算?3－3(9－x2－x3)dx的值．

跟踪训练3　已知?10x3dx＝14，?21x3dx＝，?21x2dx＝73，?42x2dx＝，求：

（1）?x3dx；（2）?x2dx；（3）?21(3x2－2x3)dx.

1．下列结论中成立的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　( 　　)

①?10x3dx＝i＝1ni3n3?1n；②?10x3dx＝limn→＋∞i＝1n?i－1?3n3?1n；③?10x3dx＝limn→＋∞i＝1ni3n3?1n.

A．0　　　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

2．定积分的大小　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( 　　)

A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关

C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关

3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：

（1）?10xdx________?10x2dx；（2）?－x2dx________?dx.

4．已知sinxdx＝sinxdx＝1，x2dx＝π，求下列定积分：

（1）?π0sinxdx；（2）(sinx＋3x2)dx.

1．定积分是一个和式i＝1nb－anf(ξi)的极限，是一个常数．

2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．

3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．

§1.6微积分基本定理导学案

1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．

2．会利用微积分基本定理求函数的积分．

微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.

1．微积分基本定理：如果f(x)在区间[a，b]上可积，并且_________，那么?baf(x)dx＝．

2．定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则

（1）当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?baf(x)dx＝．

（2）当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?baf(x)dx＝_______．

（3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?baf(x)dx＝，若S上＝S下，则?baf(x)dx＝.

探究点一　微积分基本定理

问题1　如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？

问题2　对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)?

例1　计算下列定积分：

（1）?xdx；（2）?31(2x－1x2)dx；（3）?0－π(cosx－ex)dx.

跟踪训练1　计算下列定积分：

（1）?5x4dx；（2）?31(x＋1x)26xdx.

探究点二　分段函数的定积分

例2　已知函数f(x)＝sinx，0≤x≤π2，1，π2≤x≤2，x－1，2≤x≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．

跟踪训练2　（1）设f(x)＝x2， 　　 　　x≤0，cosx－1，x0，求?1－1f(x)dx；

（2）求?a－ax2dx(a0)．

探究点三　定积分的应用

例3　计算下列定积分：?π0sinxdx，?2ππsinxdx，?2π0sinxdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．

跟踪训练3　求曲线y＝sinx与直线x＝－π2，x＝54π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．

1．(1＋cosx)dx等于　　　　　　　　　　　　　　( 　　)

A．π　　　　B．2　　　　C．π－2　　　　D．π＋2

2．若?a1(2x＋1x)dx＝3＋ln2，则a的值是　　　　　　( 　　)

A．5　　　　　　B．4　　　　　　C．3　　　　　　D．2

3．?20(x2－23x)dx＝_______

4．已知f(x)＝4x－2π，0≤x≤π2，cosx，π2x≤π，计算?π0f(x)dx.

1．求定积分的一些常用技巧

（1）对被积函数，要先化简，再求积分．

（2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．

（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．

2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.

§1.7　定积分的简单应用导学案

会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．

本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.

1．当x∈[a，b]时，若f(x)0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝________.

2．当x∈[a，b]时，若f(x)0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝_________.

3．当x∈[a，b]时，若f(x)g(x)0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围

成的平面图形的面积S＝______________.

(如图)　　

探究点一　求不分割型图形的面积

问题　怎样利用定积分求不分割型图形的面积？

例1　计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.

跟踪训练1　求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．

探究点二　分割型图形面积的求解

问题　由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？

例3　　计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.

跟踪训练2　求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．

探究点三　定积分的综合应用

例3　在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点A的坐标以及在切点A的切线方程．

跟踪训练3　如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( 　　)

S＝?ab[f(x)－g(x)]dx 　　S＝?80(22x－2x＋8)dx

　　 　　① 　　 　　 　　 　　 　　②

S＝?41f(x)dx－?74f(x)dx　S＝?a0[g?x?－f?x?]dx＋?ba[f?x?－g?x?]dx

　　 　　③ 　　 　　 　　 　　 　　④

A．①③B．②③C．①④D．③④

2．曲线y＝cosx(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( 　　)

A．2B．3C．52D．4

3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为_______

4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________

对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时

（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．

（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．

这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.

章末复习课导学案

题型一　分类讨论思想在导数中的应用

例1　已知函数f(x)＝(x－k)2e.

（1）求f(x)的单调区间；（2）若对?x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围．

跟踪训练1　求函数y＝13x3－12(a＋a2)x2＋a3x＋a2的单调减区间．

题型二　转化与化归思想的应用

例2　设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．

（1）当a＝43时，求f(x)的极值点；（2）若f(x)为上的单调函数，求a的取值范围．

跟踪训练2　若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在上单调递增，求a的取值范围．

题型三　函数与方程思想

例3　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

跟踪训练3　某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝x＋45x2－10x3(单位：万元)；成本函数为C(x)＝x＋(单位：万元)．又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．

（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)

（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

题型四　数形结合思想的应用

例4　求函数f(x)＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a0)?

跟踪训练4　已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若

x1

x2

，则a，b的正负为__________．

§2.1.1合情推理

1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；

2.能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

（预习教材P70~P77，找出疑惑之处）

在日常生活中我们常常遇到这样的现象：

（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；

（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.

以上例子可以得出推理是的思维过程.

探究任务一：考察下列示例中的推理

问题：因为三角形的内角和是，四边形的内角和是，五边形的内角和是……所以n边形的内角和是

新知1：从以上事例可一发现：叫做合情推理。

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。

探究任务二：

问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为，公差为d的等差数列{an}的通项公式的？

新知2归纳推理就是根据一些事物的,推出该类事物的的推理归纳是的过程

例子:哥德巴赫猜想：

观察6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……,

50=13+37,……,=3+97，猜想：.

归纳推理的一般步骤

1。

2。

※典型例题

例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n-1，……的前n项和Sn的归纳过程。

例2设计算的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

练1.观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？

1．归纳推理的定义.

2.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.

1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.

A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程

B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程

C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确

D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2.已知，猜想的表达式为（）.

A.B.C.D.

3.，经计算得猜测当时，有__________________________.

4已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。

1．归纳推理的定义.

2.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.

§2.1.2演绎推理

1．先预习教材p78…--p81,然后开始做导学案　

2．针对预习提纲，深化对演绎推理的一般形式—“三段论”的理解

结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.

教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.

教材p78…--p81,然后开始做导学案

一．基础性知识点

1.演绎推理的定义：_______________________________________________________

2．演绎推理是由___________到___________的推理；

3．“__________________”是演绎推理的一般模式；包括　

　⑴____________---____________________； 　　

⑵____________---____________________；　

⑶____________---_____________________．

4.三段论的基本格式

M—P（M是P）（_________）

S—M（S是M）（________）

S—P（S是P）　　（_________）

用集合的观点来理解:______________________________________________________

二．课前检测

1.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误　　

例2、已知

2.通项公式为的数列是等比数列。并分析证明过程中的三段论

1.　　如图。在中，ACBC,CD是AB边上的高，求证：

,

指出以上证明过程中的错误

：演绎推理错误的主要原因是　　

1．大前提不成立；2,小前提不符合大前提的条件。

2、把下列推理恢复成完全的三段论:

3.用三段论证明：在梯形ABCD中

§2.2.1综合法和分析法

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；

2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。

复习1两类基本的证明方法:和。

复习2直接证明的两中方法:和。

知识点一综合法的应用

一般地,利用,经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。

反思框图表示要点顺推证法；由因导果。

例1已知，，求证：

变式已知，，求证。

小结用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。

知识点二分析法的应用

证明：基本不等式

新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

反思：框图表示

要点：逆推证法；执果索因

※典型例题

例2求证变式：求证:

小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.

例2设在四面体中,D是AC的中点.求证：PD垂直于所在的平面。

小结解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。

1.已知a，b，c是全不相等的正实数，求证。

2.在△ABC中，证明。

§2.2.2反证法

（1）使学生了解反证法的基本原理；

（2）掌握运用反证法的一般步骤；

（3）学会用反证法证明一些典型问题.

反证法的思维方法：正难则反

反证法定义：一般地，由证明?转向证明：与假设矛盾，或与某个真命题矛盾。从而判定为假，推出为真的方法，叫做反证法。

例1、已知求证：中至少有一个大于。

例2．设，求证

1.反证法的基本步骤：

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

2.归缪矛盾：

（1）与已知条件矛盾；

（2）与已有公理、定理、定义矛盾；

（3）自相矛盾。

3.应用反证法的情形：

(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；

（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；

（4结论为“唯一”类命题；

1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ 　　）

Ａ．假设都是偶数

Ｂ．假设都不是偶数

Ｃ．假设至多有一个是偶数

Ｄ．假设至多有两个是偶数

2．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（ 　　）

Ａ．与的假设都错误

Ｂ．与的假设都正确

Ｃ．的假设正确；的假设错误

Ｄ．的假设错误；的假设正确

3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ 　　）

Ａ．有两个内角是钝角　　　　Ｂ．有三个内角是钝角

Ｃ．至少有两个内角是钝角　　Ｄ．没有一个内角是钝角

4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______．

5.已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．

6．证明不可能成等差数列．

§2.3数学归纳法

了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

数学归纳法中递推思想的理解.

1.教学数学归纳法概念：

给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.

不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.

完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.

2、典例分析

题型一、用数学归纳法证明恒等式

例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3=n2（n＋1）2

题型二、用数学归纳法证明不等式

例2、归纳法证明…＞（n＞1，且）．

题型三、用数学归纳法证明几何问题

例3．平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分.

题型四、用数学归纳法证明整除问题

例4、用数学归纳法证明32n＋2－8n－9能被64整除．

用数学归纳法证明能被9整除

题型五归纳、猜想、证明

例5．是否存在常数a，b，c使等式

对一切自然数n都成立，并证明你的结论。

1.用数学归纳法证明“1＋x＋x2＋…＋xn＋1=”成立时，验证n=1的过程中左边的式子是()

　　(A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋…＋x2

2.用数学归纳法证明

1－＋－,则从k到k＋1时,左边应添加的项为

(A)(B)(C)－(D)－

3.如果命题对成立，那么它对也成立，又若对成立，则下列结论正确的是（）

A．对所有自然数成立B．对所有正偶数成立

C．对所有正奇数成立D．对所有大于1的自然数成立

4.证明

5.用数学归纳法证明：能被9整除

第二章推理与证明知识点：

1、归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质；

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；

证明（视题目要求，可有可无）.

2、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.

类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

检验猜想。

3、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.

4、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.

演绎推理的一般模式———“三段论”，包括：⑴大前提-----已知的一般原理；

⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

要点：逆推证法；执果索因.

⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.

反证法法证明一个命题的一般步骤：

(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；

(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.

6、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；

（2）（归纳递推）假设时命题成立，推证当时命题也成立.

只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.

3.1.1数系的扩充与复数的概念

（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用

（2）1)结合实例了解数系的扩充过程

2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定

3)对复数的初步认识及复数概念的理解

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件

（3）了解复数的代数表示方法

1.复数的概念：

⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：

①＿＿＿＿＿＿＿＿＿

②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．

⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．

(4)对于复数a+bi(a,b∈R),

当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;

当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;

当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做虚数;

当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做纯虚数;

2.学生分组讨论

⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?

⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？

3.练习：

(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？

2+2i,0.,2i/7,0,5i+8,3-9i

1.m∈R，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i，则z为纯虚数的充要条件是m的值为　　()

A.2或5　　B.5　　C.2或-5　　D.-5

2、设a∈R.复数a2-a-6+(a2-3a-10)i是纯虚数,则a的取值为()

(A)5或-2(B)3或-2(C)-2(D)3

3、如果（2x-?y)+(x+3)i=0(x，y∈R)则x+y的值是（）

§3.1.2复数的几何意义

1.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系；

2.了解复数的几何意义；

3.会用复数的几何意义解决有关问题.

重点:复数与从原点出发的向量的对应关系．

难点：复数的几何意义.

由前一节内容知复数是由其实部和虚部共同决定，所以可以考虑复数与有序实数对的对应关系，有序实数对与以原点为起点以为坐标的向量的对应关系，进而建立复数与以原点为起点以为坐标的向量的对应关系，这是理解复数几何意义的基础.

1.若，，则；

2.若，，则

探究一、复数几何意义（一）

引导:复数与有序实数对是关系；若点Z的横坐标是，纵坐标是，则复数可用点表示，其中这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_______，轴叫做_________，轴叫做__________

思考：⑴实轴上的点都表示________，原点表示，除了原点外，虚轴上的点都表示___________.

⑵在复平面内z=－5－3i对应的点______________，z=－3i对应的点______________，

实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数_____________，

虚轴上的点表示纯虚数____________；

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

点拨：复数是由其实部和虚部共同决定，所以复数与有序实数对是一一对应关系，和复平面内的点也是一一对应关系,这样就建立了复数和复平面内几何图形——点之间的关系，体现了数与形结合思想.

探究二、复数几何意义（二）

引导:复平面内的点与平面向量的对应关系：

因此，我们可以用平面向量来表示复数，即：

同时我们把向量的模叫做复数的模，即有.

点拨：复数与平面向量建立了一一对应关系，从而可以利用平面向量知识来解决复数问题，实现了数与形的互化.

例1如果复数的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数对应的点应位于怎样的图形上。引导:考虑复数在复平面内对应的点坐标形式为，若，则点所位于的图形即为所求.

解:

练习：在复平面内，复数，，，对应的点分别为，，，.试求出复数的模，并判断点，，，是否在同一个圆上，从中你能得到什么结论？

提示：计算复数的模，发现规律，寻求结论，再结合复数模的定义解释你的

结论.

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案

1．理解复数加法的交换律、结合律，知道减法是加法的逆运算；能熟练运用法则进行复数代数形式的加减运算.

2．理解复数加减法的几何意义，能熟练使用几何法作出复数的向量及进行加减运算.

复数的加减运算法则及其应用．　　

复数的几何意义及其运用．

（根据以下提纲，预习教材第56页～第58页）

1.　　复数的加法运算及其几何意义

⑴我们规定复数的加法运算法则为：设z1=a+bi，z2=c+di是两个任意复=

⑵两个复数的和仍然是.

⑶复数的加法满足交换律、结合律，即：.

⑷设分别与复数a+bi和c+di对应，则对应复数就是

⑸复数加法的几何意义是.

2.　　复数减法及几何意义

⑴类比实数减法的意义，我们规定复数的减法是.

⑵复数减法的运算法则为.

⑶两个复数的差是.

⑷复数减法的几何意义是.

1.计算：(1).(2).

2.已知，，若+是纯虚数，则有（ 　　）

A.且B.且

C.且D.且

典型例题

例1.　　计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i);

例2.已知复数，，(1)求；(2)在复平面内作出复数所对应的向量.

动动手：

1.复数，，则等于（）

A．0B.C.D.

2.复数Z对应的点在第二象限，则Z+i对应点在（）

A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1．复数则等于（）.

（A）2（B）2+2i（C）4+2i（D）4-2i

2.一个实数与一个虚数的差（）

A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数

3.设当时，复数为（）.

（A）1+i（B）2+i（C）3（D）-2-i

4.复数若它们的和为实数、差为纯虚数，则实数的值为（）.

（A）a=-3,b=-4（B）a=-3,b=4（C）a=3,b=-4（D）a=3,b=4

5.已知复平面内的平面向量表示的复数分别为则向量所表示的复数的模为（）.

（A）（B）（C）（D）

6．在复平面上复数，，所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的向量表示的复数是（）

A.　　　　B.　　C.　　　　　　D.

7.已知，为纯虚数，且，求x,y

§3.2.2复数代数形式的乘除运算

1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；

2.过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；

3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.

重点：复数代数形式的除法运算.难点：对复数除法法则的运用.

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将换成；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.

1.复数与的和的定义：；

2.复数与的差的定义：；

3.复数的加法运算满足交换律:；

4.复数的加法运算满足结合律:；

5.复数的共轭复数为.

探究一、复数的乘法运算：设、是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：

引导2:试验证复数乘法运算律

（1）（2）（3）

探究二、复数的除法运算：引导1：复数除法定义：满足的复数叫复数除以复数的商，记为：或者.

点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而是正实数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法

例1：计算

1.复数等于（）A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

2.设复数满足，则（）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　　　D．

3*.复数的值是（）A.B.C.D.1

4.已知复数与都是纯虚数，求=.

5.(1)试求的值.

(2)由（1）推测的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.

提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.

复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.

未完

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