抽象函数问题通常会给出函数满足的某些方程或不等式，以及一些特殊点的函数值，让我们通过分析得出与函数相关的一些性质，进而解决问题．因为抽象函数没有具体的表达式，因此在解题过程中，我们常常借助合理的赋值（即将题中变量、等赋予恰当的数值或代数式），将抽象具体化．那么如何能快速得到有效的赋值呢？我们举例进行说明：

例1　定义在上的函数满足且，则______．——提问者：阿鹏-10-:35

分析　题中已知的值，要求的值，考虑对中的进行赋值，使得，，中有和出现．如令则，得到因此还需求出的值．由于，，而，，故可求，进而可求．

解　（解答者：融念冰）由已知且，对进行赋值：令，得令，得令，，得所以．

注　此题赋值并不唯一，读者可在光子问答对应题中查阅其它解法．

例2　已知函数的定义域为，且对任意，都有．当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数．——提问者：松松-09-:21

分析　(1)由函数单调性的定义，在上任取，当时，我们需根据的符号来判断函数的单调性．因此需对中的进行赋值，构造出考虑到是作差的形式，因此先将方程变形为这样可令即得到具体赋值：，．

(2)由奇函数的定义可知，若证函数为奇函数，则需得到考虑到是和式的形式，故可令，，此时有因此需再求出的值，只需令都取即可．

证明　（解答者：燕子）(1)设，且，则．因为时，恒成立，所以．因为，所以令，，代入上式得即所以在上为减函数．

(2)令，则令，，则由(i)(ii)可得所以函数为奇函数．

注　抽象函数相关性质的证明方法为“定义法”，通过适当的赋值向定义靠近，根据形式的需要可先将所给方程进行变形再赋值．尤其是证明抽象函数的单调性时，如何赋值才能出现是解题的关键，本题中即是先将所给方程进行变形，再把“对号入座”，从而得到的具体赋值．

总结　实际上多数抽象函数所满足的方程都源于我们常见的初等函数，如：(1)正比例函数型抽象函数(2)指数函数型抽象函数(3)对数函数型抽象函数(4)幂函数型抽象函数

练习1．已知函数满足对任意实数，都有，且，求，，，．——提问者：海天一色-10-:29

2．定义在上的函数，对任意都有：，且当时，．回答下列问题：(1)判断在上的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；(3)若，试求的值．——提问者：影子在喝水-09-:45

3．已知函数对任意实数都有，，当时，．(1)判断在上的单调性，并给出证明；(2)若且，求的取值范围．——提问者：松松-09-:03

4．设函数的定义域为，对任意实数恒有，且当时，．(1)求证：且当时,；(2)能否确定在上的单调性？若能，说明是单调递增还是单调递减；若不能，请说明理由；(3)若，解方程．——提问者：扬帆起航-10-:54

答案1．，，，；2．(1)奇函数，(2)减函数，(3)；3．(1)增函数，(2)；4．(1)略，(2)在上为减函数，证明略，(3)．

备注：若要查阅详细的解答过程，请在光子问答APP中搜索用户名，查看用户提问的问题，找到对应时间所发的题即可．

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