例1若在等差数列2，5，8，…的每相邻两项中间插入三项，使它构成一个新的等差数列，则原数列的第10项，是新数列的第（）项。

在每相邻两项中间插入三项，则原数列的第10项之前共插入了3×9=27项，故原数列的第10项是新数列的第10+27=37项。

例2　等差数列第1项20，第2～5项的和比第6-～10项的和少，求公差.

由于第一项为20，而第2到5项的和比第6到10项的和少，则第1到5项的和比第6到10项的和少，而第1到5项与第6到10项差的就是25个公差，所以公差为÷25=4.

例3已知1+2+3+?+n（n2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是（）

根据题意，前n项和等于（1+n）×n÷2，而现在的个位为3，十位上是0，则（n+1）×n的末两位是06，易知末位是6的连续的两个自然数的成积的末位只能为2×3或者7或者8，经试验，最小的n取37时，37×38=符合条件，所以n的最小值为37。

例1甲乙两人分别从AB两地同时出发，6小时后在中点相遇，若甲每小时多走4千米，乙提前走1小时，则仍然在中点相遇，那么两地相距多少米？

刚开始他们的速度是相等的，乙提前一个小时出发，也就是行了5小时，甲也行了5小时 　　5×4=20（千米） 　　20×（6+6）=（千米） 　　答：两地相距千米。 　　2.24点 　　用1、4、5、6和四则运算符号和括号计算得到24

例2甲、乙两车分别从B、A两地同时出发相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断的往返行驶。已知途中第二次相遇点和的三次相遇点相距40千米，A、B两地相距多少千米？

甲乙两车速度比是45：36=5：4 　　将全程分成相等的9份 　　第2次相遇时 　　两车共走3个全程 　　则甲车走了3x5=15份 　　15除以9等于1余6 　　此时甲车走了1个全程多6份 　　所以第2次相遇的地点在距离A地6份的地方 　　第3次相遇时 　　两车共走了5个全程 　　则甲车走了5x5=25份 　　25除9等于2余7 　　此时甲车走了2个全程多7份 　　所以第2次相遇的地点在距离B地7份的地方 　　即距离A地2份的地方 　　2次相遇到地点相距4份 　　每份为40/4=10千米 　　A，B两地相距离10x9=90千米

例1工厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？

　　将图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如下图（把图中的长方形卷成上页图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路。

例2如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米，如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？

我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了。

　　解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O。

　　因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去。

　　延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2

　　＝（12＋8）2＋＝=，解得AF=25。

　　即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米。