二次函数的应用教学思考2

——利润最大化的二次函数模型

个人随笔类

王继广

通过经历求最大面积、计算最大获利以及现实生活中的抛物线型物体的新知探究，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并能体验数学的应用价值。在探索的过程中，发展学生的数学抽象、数学运算等核心素养，使学生能够用数学的眼光发现数学的美。笔者就第二课时的利润最大化的二次函数模型探究，做一个一题多解的教学反思。

1.原题呈现：

（鲁教版教材99页）服装厂生产某品牌的T恤衫,每件的成本是10元，根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销件,并且表示每件降价0.1元,愿意多经

销件。请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获得最

大利润.

2.思路分析：

2.1出现数字：10元13元件

降价0.1元多经销件

2.2两个变量：利润销售量

2.3变量之间的依存关系：销售量随降价而增加

2.4总利润=销售量X单件利润

2.5单件利润=售价—进件

2.6销售量=+增加的销量（的倍数）

2.7二次函数最值的求法——配方法

2.8完全平方公式

2.9数学运算能力

3.解答赏析：

3.1解法1：

解:设每件T恤衫的售价降低x个0.1元(0≤x≤),则经销商多经销x件,那么单件利润为（13-10-0.1x）元，销售量为（+x）件

设厂家可获得最大利润为y元,则

y=（13-10-0.1x）（+x）

=（3-0.1x）XX（10+x）

=（3-0.1x）（10+x）

=(30+3x-x-0.1x2)

=(-0.1x2+2x+30)

=X(-0.1)(x2-20x-)

=-50(x2-20x-)

=-50(x2-20x+--)

=-50[(x-10)2-]

=-50(x-10)2+

∴当x=10时，所获利润最大值为元

即批发价降低10个0.1元，13-10X0.1=12（元）

答：厂家批发单价是12元时，可以获得最大利润。

3.2解法2：

解:设每件T恤衫的批发单价为x元,则批发单价降价（13-x）

而后使用多项式的乘法分别相乘，整理成一般形式后，进行配方得顶点式的二次函数关系式，根据实际情况，作出正确的决策.】

=（x-10）（+6-x）

=（x-10）（+6-x）

=（x-10）（14-x）

=(14x-x2+10x-)

=(-x2+24x-)

=-(x2-24x+)

=-(x2-24x+-+)

=-[(x-12)2-4]

=-(x-12)2+

∴当x=12时，所获利润最大值为元

答：厂家批发单价是12元时，可以获得最大利润。

4.变式练习

4.1问题情境变式

（教材页随堂练习）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价元，旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的单价就降低10元，你能帮助算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅游团可以获得最大的营业额.

4.2条件变式

某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，售价为多少元时，才能半月内获得最大利润.

5.课堂达标测试

5.1例题练习化

学生通过自主学习完成例2（教材99页例）的学习，而后小组内交流学习经验，形成必备的二次函数模型，解决实际问题中的最大值问题。

5.2数形结合化

课堂上通过学生讨论“议一议”，结合二次函数图象分析相关问题，积累解决实际问题的解题技能，构建二次函数数学模型。

在课堂教学中，要引导学生分析问题，设出未知量，将销售量、销售额、所获利润分别表示出来，再利用二次函数模型，通过配方求出利润最大值；鼓励学生建立不同的函数模型，但问题的解答是一致的，使学生感受一题多解带来的“统一美”。

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