二次函数的图像与性质

考点分析

1．二次函数的概念、图像和性质

2.二次函数的图像与字母系数的关系

3.确定二次函数的解析式

4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系

5.二次函数图像常见的变换

思想方法

基本思想：

数形结合，从二次函数的图像研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及其图像的平移变化，到利用二次函数图像求解方程与方程组，再到利用图像求解析式和解决实际问题，都体现了数形结合的思想

真题精选

例题精讲

类型一　二次函数的解析式

解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax^2＋bx＋c(a≠0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)^2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．

类型二　二次函数的图像、性质

解题关键是正确把握解析式的特点、图像的特点、二次函数的性质，注意数形结合．

类型三　二次函数的图像变换

①平移的规律：左加右减，上加下减；②对称的规律：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数；③旋转的规律：旋转后的抛物线开口相反，顶点关于旋转点对称．

类型四　二次函数的综合问题

（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；

（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．

抛物线与x轴的交点问题；二次函数的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质．

类型五　二次函数的应用

此题是二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．

热点题型

本题是数形规律探究能力．图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律．该题型是图形变换和规律的探究题，是中考命题方向．

专题小结

二次函数是中考必考题型。

复习本专题题时一定要熟练掌握二次函数解析式的几种求法：（1）待定系数法；（2）顶点式法；（3）交点式法。

同时，二次函数的图形及其性质一定要非常熟悉。比如对称性、增减性、最大最小值以及字母的正负性。

二次函数的应用的解题关键是抓紧基本的应用公式，列出函数解析式，然后利用函数的性质解决实际问题。

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