比例与比列应用题

——郎程培优程小鹏老师

一、比

1、定义：为了比较两个同类的量A与B的大小，将A与B相除，称作A与B的比，读作3比4，记为Ａ：Ｂ。其中，A称为比的前项，B称为比的后项，比的结果叫比值。

2、比与除法和分数的联系：Ａ：Ｂ＝Ａ÷Ｂ=Ａ/Ｂ

3、性质：前项与后项同时乘以或除以一个不为零的数，比值不变。例如，1:2=(1×3):(2×3)=3:6=0.:8=(12÷4):(8÷4)=3:2=1.5

二、比例

1、定义：表示两个比相等的式子叫比例。如1:2=3:6，两端的数（1和6）叫做比例外项，中间的数（2和3）叫做比例内项。

2、性质：外项积等于内项积。例如上面的比列中，1×6（外项积）=2×3（内项积）。

　证明：要由ABCD得到ADBC，设ABCD=k，则A=kB，C=kD，左边=ＡＤ＝ｋＢＤ，右边＝ＢＣ＝ＢｋＤ，可知左边＝右边，证毕。

三、比例应用题

比例应用题经常与典型应用题（年龄问题，和差倍问题，还原问题等）相结合，解题时建议采用方程的思想，比较直观，且容易入手。

小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多１/５，小方用的时间比小明多１／８，小明和小方的速度比是多少？

此题为一道行程问题，行程问题有三个量：路程，时间和速度。这题要求的是速度比，但是路程和时间的具体值都不知道，这给解题带来了麻烦。但是如果知道具体的路程和时间的话，那就好办了！于是，我们的一个想法是：自己假设小明与小方的路程和时间。假设的时候，为了方便计算，要结合题目中的比例关系来假设数值。例如，因为“小明走的路程比小方多（小方的）１/５”，故假设小方的路程为５，则小明的路程为６；同理，假设小明的时间为８，则小方的时间为９.于是可得下面关系表：

路程 　　 　　 　　时间 　　 　　 　　速度

小明 　　　６ 　　 　　 　　　８ 　　 　　 　　６／８

小方 　　　５ 　　 　　 　　　９ 　　 　　 　　５／９ 　　 　　 　　

所以，小明与小方的速度比是： 　　６／８：５／９＝２７：２０

1、把下面比化成最简整数比：

48:.12:0.81/5:0.6

2、已知一个比例的两个外项互为倒数，两个内项之和为4.25，求两个内项。

3、已知A:B=3:4,B:C=6:7,求A:B:C。

4、A、B两数的比是7：8，而A、B两数的和是60，A数是多少？如果和是75,A又是多少？

5、小华从甲地到乙地，3分之一骑车，三分之二乘车；从乙地返还甲地，五分之三骑车，五分之二乘车，结果慢了半个小时，已知，骑车每小时12千米，乘车每小时30千米，问：甲乙两地相距多少千米？

6、小强骑自行车从甲地到乙地需要3小时，如果先步行2千米，步行的速度是骑自行车速度的1/3，则晚到20分钟，那么甲乙两地相距多少千米？

答案

1、把下面比化成最简整数比：

48:.12:0.81/5:0.6

48:36=4:3

0.12:0.8=12:80=3:20

1/5:0.6=0.2:0.6=2:6=1:3

2、已知一个比例的两个外项互为倒数，两个内项之和为4.25，求两个内项。

因为4.25=4+1/4,而1/4×4=1,故两个内项为4和1/4.

3、已知A:B=3:4,B:C=6:7,求A:B:C。

A:B=3:4=9:12,B:C=6:7=12:14,故A:B:C=9:12:14

4、A、B两数的比是7：8，而A、B两数的和是60，A数是多少？如果和是75,A又是多少？

60÷（7+8）=4

A=4*7=28

B=4*8=32

如果和是75

75÷（7+8)=5

A=5*7=35

B=5*8=40

5、小华从甲地到乙地，3分之一骑车，三分之二乘车；从乙地返还甲地，五分之三骑车，五分之二乘车，结果慢了半个小时，已知，骑车每小时12千米，乘车每小时30千米，问：甲乙两地相距多少千米？

将全部路程看作单位1

前后两次骑车距离相差3/5-1/3=4/15

乘车和骑车速度比=路程比=30：12=5：2

那么时间之比=2：5

所以乘车用的时间是骑车的2/5

那么骑车行完4/15全程用的时间=（1/2）/（1-2/5）=5/6小时

那么骑车行完全程用的时间=（5/6）/（4/15）=75/24小时

那么全程=12×75/24=37.5千米

6、小强骑自行车从甲地到乙地需要3小时，如果先步行2千米，步行的速度是骑自行车速度的1/3，则晚到20分钟，那么甲乙两地相距多少千米？

20分钟=1/3小时

步行和骑车的速度比=1/3：1=1：3

时间比=3：1

步行2千米用的时间=（1/3）/（1-1/3）=1/2小时

步行速度=2/（1/2）=4千米/小时

骑车速度=4×3=12千米/小时

甲乙距离=12×3=36千米