今天我们分享一个古代数学趣题《百鸡百钱》。

《百鸡百钱》是我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出的数学问题：“鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”我们把文言文翻译成白话文，意思是：公鸡一个五块钱，母鸡一个三块钱，小鸡三个一块钱，现在要用一百块钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

1只母鸡配3只小鸡，则4鸡4钱，平衡；

1只公鸡配3只小鸡，则4鸡6钱，钱多，需要加小鸡；

1只公鸡配6只小鸡，则7鸡7钱，平衡；

四鸡四钱、七鸡七钱分百鸡百钱；

很显然，我们可以一眼就看出25组的四鸡四钱符合要求；另外每7组的四鸡四钱可以等量替换为4组七鸡七钱。因此，四鸡四钱18组、七鸡七钱4组；四鸡四钱11组、七鸡七钱8组；四鸡四钱4组、七鸡七钱12组也符合要求。然后我们将四鸡四钱和七鸡七钱给拆分开来，就可以得到下面四组答案：

1.母鸡25只，公鸡0只，小鸡75只

2.母鸡18只，公鸡4只，小鸡78只

3.母鸡11只，公鸡8只，小鸡81只

4.母鸡4只，公鸡12只，小鸡84只

2.方程组法

设公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，得到以下方程式组：

方程A：5x+3y+1/3z=

按照第2种方程组解法，我们设置五个变量，分别是公鸡、母鸡、小鸡、钱以及鸡的数量，另外我们建立一个列表用来存放计算出的答案。

给变量赋初始值：

编程解决方案一：

（1）三层循环找满足两个方程组的x、y和z值；

（2）先固定公鸡x的数量；

（3）对于每个新的x，母鸡数量y从0开始，循环次；

（4）母鸡数量y从0开始，对于每个y值，小鸡数量z从0开始，一直循环次。

（5）x、y、z三层循环体，循环次数次（对应上面的方程C、D、E）

（6）是否满足方程组A、B的判断结构

编程解决方案一的完整程序如下：

在编程解决方案一中，x、y、z的三层循环次数均为次，计算机共计要计算××次（1百万次），我们在运行Scratch时可以明显的看到，四组答案已经算出来了，但是电脑还没有迭代计算完毕，为了更快的得到答案，我们可以对程序进行优化。

通过我们对题目更深层次的解读，我们可以发现，我们的方程CDE可以进一步地缩小范围，比如方程C，公鸡是5块钱一只，块钱，全买公鸡，最多就买/5=20只，所以公鸡我们最多循环到20次就可以了。

同理，母鸡我们只需要循环/3=33次。

小鸡循环的次数则为，这里我们要注意，因为最多就买只鸡，所以小鸡尽管价格便宜，1块钱买3只，但全买小鸡咱也只能买只，所以小鸡的运算次数还是原来的就可以了。

通过上面的优化，我们可以将万次的运算次数降低至20×33×=次，通过减少计算次数，我们将效率提高了93.4%，同时降低了计算对计算机的需求，优化后的解决方案如下：

编程解决方案三（优化二）：

方案二经过优化后，计算次数虽大为降低，但仍需要计算6万多次，我们有没有什么方法可以进一步降低计算次数呢？方案一和方案二都是三层循环，如果我们将三层循环降低一层的话，那么是不是我们的计算次数至少就可以下降个量级？

我们看到方程A，三种鸡的数量的和为，如果我们只设2个未知数，公鸡x、母鸡y、则小鸡就可以写为：z=-x-y。

此时，我们的判断条件也发生了相应的变化，之前需要同时满足方程A和B，此时只要单独判断是否满足方程B就可以了，判断条件如下：

优化后，计算次数再一次降低，总计算次数为20×33=次，计算次数仅相当于第二方案的1%，完整程序如下：

编程解决方案四（优化三）：

方案四与方案二和方案三类似，简化为公鸡x和母鸡y的两个循环，小鸡z用x和y来表示，不同之处为，采用“重复执行直到”命令代替“重复执行（）次”命令，程序具体如下：